Միավոր շրջանագիծ, անկյան ռադիանային չափը

Միավոր շրջանագիծ

Որպես թվային շրջանագիծ կարելի է օգտագործել ցանկացած շրջանագիծ, սակայն հարմար է դիտարկել միավոր շրջանագիծը:

Միավոր շրջանագիծ անվանում են այն շրջանագիծը, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների սկզբնակետում և, որի շառավիղը հավասար է 1 -ի:
Հիշիր քառորդների դասավորությունը

Միավոր շրջանագիծ
Որպես թվային շրջանագիծ կարելի է օգտագործել ցանկացած շրջանագիծ, սակայն հարմար է դիտարկել միավոր շրջանագիծը:
Միավոր շրջանագիծ անվանում են այն շրջանագիծը, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների սկզբնակետում և, որի շառավիղը հավասար է 1 -ի:
Հիշիր քառորդների դասավորությունը

1) OX ճառագայթի դրական ուղղության և OA ճառագայթի կազմած անկյունը կոչվում է պտույտի անկյուն:
2) Պտույտի այն ուղղությունը, որը համընկնում է ժամացույցի սլաքի ուղղության հետ, կոչվում է բացասական ուղղություն, իսկ հակառակ ուղղությունը՝ դրական:
Կարևոր է հիշել 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° անկյունների դիրքը:

Դրական անկյուն

Բացասական անկյուն

Միավոր շրջանագծի վրա նշենք 225 ° -ի անկյունը:

1) Պարզում ենք, թե որ քառորդում է գտնվում անկյունը:

Այն մեծ է 180 ° -ից և փոքր է 270 ° -ից:
Հետևաբար, անկյունը գտնվում է III -րդ քառորդում:

2) Հաշվում ենք, թե քանի աստիճանով է այս անկյունը տարբերվում 180 ° -ից՝

225 ° =180 ° +45 ° :

Միավոր շրջանագծի վրա նշենք −120 ° -ի անկյունը:

1) Պարզում ենք, թե որ քառորդում է գտնվում անկյունը: Պտույտը կատարվում է բացասական ուղղությամբ: Անկյունը
գտնվում է III -րդ քառորդում:

2) Հաշվում ենք, թե քանի աստիճանով է այս անկյունը տարբերվում −90 ° -ից՝

−120 ° =−90 ° +(−30 ° :

Անկյան ռադիանային չափը

Եռանկյունաչափության դասընթացից ծանոթ ենք անկյան աստիճանային չափին՝
1° մեծությամբ անկյունը փռված անկյան 1180 մասն է:
Ծանոթանանք անկյունների չափման նոր միավորին՝ ռադիանին:
Ռադիանը կրճատ գրում են ռադ:

Դիտարկենք միավոր (կամ ցանկացած այլ շառավղով) շրջանագիծը:

Ռադիանը անկյան չափման այն միավորն է, երբ π ռադ =180° :
Այս հավասարությունից ստանում ենք՝ 1 ռադ =180°π≈57° :
Գիտենք, որ R շառավղով շրջանագծի երկարությունը հավասար է l=2π⋅R :
Միավոր շրջանագծի երկարությունը կլինի՝
2π⋅1=2π , համապատասխանում է 360° կենտրանական անկյանը,

Կիսաշրջանագծի երկարությունը կլինի՝ 12⋅2π=π , համապատասխանում է 180° կենտրանական անկյանը,

Շրջանագծի քառորդի երկարությունը կլինի՝ 14⋅2π=π2 , համապատասխանում է 90° կենտրանական անկյանը:

Նկատենք, որ շրջանագծի, նրա կեսի և քառորդի երկարությունները համապատասխան կենտրոնական անկյունների վրա հենված աղեղների երկարություններն են:

Իսկ ո՞ր կենտրոնական անկյանն է համապատասխանում l երկարությամբ աղեղի երկարությունը: Նշանակենք այդ անկյունը α -ով և գտնենք այն:

Քանի որ 360°∼2π և α°∼1, ապաα°=360°2π=180°π

Հիշենք, որ 1ռադ=180°π
Հետևաբար, α -ն այն անկյունն է, որի ռադիանային չափը l ռադիան է:
Այսպիսով, մեկ ռադիան մեծությամբ անկյունն այն կենտրոնական անկյունն է, որի հենման աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին:

Իրական թվի իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը

Փորձենք հասկանալ, թե ինչպե՞ս պետք է սահմանել իրական թվի իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը:

Օրինակ, տեսնենք, թե ինչպե՞ս է որոշվում 32√ թիվը:

Հասկանալի է, որ 32√ թիվը իռացիոնալ թիվ է և պետք է ներկայացվի անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով՝ 32√=a0,a1a2a3…

Ուստի, սահմանել 32√ թիվը նշանակում է գտնել a0,a1,a2,a3… թվանշանները:

2√ -ը իռացիոնալ թիվ է, ուրեմն այն ներկայացվում է անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով՝ 2√=1,414213…

Դիտարկենք այս անվերջ կոտորակի մոտարկումները պակասորդով և հավելուրդով՝

1.4<2√<1.51.41<2√<1.421.414<2√<1.415………………………………

Հետևաբար, 32√ թիվը պետք է բավարարի հետևյալ անհավասարումներին՝

31.4<32√<31.531.41<32√<31.4231.414<32√<31.415………………………………

Նկատենք, որ այս անհավասարությունների ձախ և աջ մասերում գրված աստիճանների ցուցիչները ռացիոնալ թվեր են: Ուստի, դրանք արդեն սահմանված են և, դրանց արժեքները կարելի է հաշվել հաշվիչով:

Օրինակ՝ 31.41=4,70… և 31.42=4,75…

Տեղադրենք այս արժեքները վերևի անհավասարություններից երկրորդի մեջ՝

4,70…<32√<4,75…

Այս հավասարությունից գտնում ենք 32√=a0,a1a2a3… ներկայացման առաջին և երկրորդ թվանշանները՝ a0=4,a1=7 : Այսպիսով, 32√=4,7…

Նույն ձևով, հաջորդաբար գտնում ենք 32√=a0,a1a2a3… ներկայացման մնացած թվանշանները:

Այսպես կարելի է սահմանել կամայական a>1 թվի x>0 իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը՝ ax :
a>1 և x<0 դեպքում ax -ը սահմանում ենք այսպես՝ ax=1a−x
0

Իրական թվի ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը

a դրական թվի ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը սահմանվում է հետևյալ բանաձևով՝ amn=am−−−√n , որտեղ n -ը բնական թիվ է, իսկ m -ը՝ ամբողջ:
Օրինակ՝

1112=11−−√,289=28−−√9,t5−−√=t52

0 -ի ռացիոնալ աստիճանը սահմանվում է միայն դրական ցուցիչի դեպքում՝ 0r=0,r>0
Բացասական թվի ռացիոնալ աստիճանը սահմանվում է միայն ամբողջ ցուցիչի դեպքում:
Օրինակ
1) Հաշվենք 3215 արմատի արժեքը:

Լուծում:

3215=32−−√5=2

2) Հաշվենք (−27)13 արմատի արժեքը:
Լուծում:

Այս աստիճանը իմաստ չունի՝ բացասական թվի ռացիոնալ աստիճանը սահմանվում է միայն ամբողջ ցուցիչի դեպքում:
Հիշիր, որ հիմքը չի կարող բացասական թիվ լինել, իսկ աստիճանացույցը կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական թիվ:
Դիտարկենք և համեմատենք հետևյալ երկու հավասարումները:
Օրինակ
1) Լուծենք y2−−√3=1 հավասարումը:

Լուծում: Հավասարման երկու մասերը բարձրացնենք խորանարդ՝

y2=1y1,2=±1

Պատասխան՝ −1;1

2) Լուծենք y23=1 հավասարումը:

Լուծում: y հիմքը պետք է ոչ բացասական լինի, քանի որ այն բարձրացվում է ռացիոնալ աստիճան: Հետևաբար, առաջին հավասարման բացասական արմատը պետք է բացառել:
Ուստի, այս հավասարմանը բավարարում է միայն y=1 արժեքը:

Պատասխան՝ 1

Իրական թվի n-րդ աստիճանի արմատը

а թվի n -րդ աստիճանի արմատ, որտեղ (n=2,3,4,5…) , կոչվում է այն b թիվը, որի n -րդ աստիճանը հավասար է а թվին:

Այսինքն՝ a√n=b,bn=a
a թվի n -րդ ասըօճանի արմատը նշանակում են այսպես՝ a√n :
а -ն կոչվում է արմատատակ թիվ,
n -ը արմատի աստիճանացույց:

Եթե n=2 , ապա գրում են a√ ( 2 -ը չեն գրում) և կարդում են «քառակուսի արմատ a -ից»:
Եթե n=3 , ապա գրում են a√3 և «երրորդ աստիճանի արմատի» փոխարեն հաճախ ասում են «խորանարդ արմատ»:

Եթե n -ը զույգ թիվ է, ապա n -րդ աստիճանի արմատ ունի ցանկացած ոչ բացասական թիվ:
Եթե a<0 , ապա n -րդ աստիճանի արմատը գոյություն չունի:

Բացասական թվի զույգ աստիճանի արմատը գոյություն չունի:

Օրինակ
16 թվի չորրորդ աստիճանի արմատը հավասար է 2 -ի:

Այսինքն՝ 16−−√4 =2 , քանի որ 24=16

−16−−−−√4 արտահայտությունը իմաստ չունի:
Եթե n -ը կենտ թիվ է, ապա ցանկացած իրական թիվ գոյություն ունի n -րդ աստիճանի արմատ: Ընդ ուրում՝ −a−−−√n=−a√n
Օրինակ
8√3=2 , −8−−−√3=−8√3=−2
Եթե a≥0 , ապա (a√n)n=a և an−−√n=a :
Օրինակ
(11−−√7)7=11138−−−√8=13
1) Եթե n -ը զույգ թիվ է, և a>0 , ապա կան երկու իրական թվեր, որոնց n -րդ աստիճանի արմատը հավասար է a -ի: Դրանք են՝ a√n և – a√n թվերը:

2) Եթե n -ը կենտ թիվ է, ապա ցանկացած իրական a թվի համար կա միակ թիվը, որի n -րդ աստիճանի արմատը հավասար է a -ի:
Դժվար չէ համոզվել, որ a,b≥0,m,k∈N դեպքում տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝

1a√m=ak−−√mk2a⋅b−−−√m=a√m⋅b√m3(a√m)k=ak−−√m4ab−−√m=a√mb√m,b≠0

Նշենք n -րդ աստիճանի արմատի ևս երկու հատկություն:
5) Եթե a>1 , և m>n , ապա a√mn , ապա a√m>a√n :

Թվաբանական գործողություններ իրական թվերի հետ

a,b,c իրական թվերի համար տեղի ունեն գումարման և բազմապատկման ընդունված կանոնները՝

a+b=b+aab=baa+(b+c)=(a+b)+ca(bc)=(ab)c(a+b)c=ac+bc:

Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝

– երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
– երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
– դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է:

Թվաբանական գործողությունները իրական թվերի հետ ունեն հետևյալ հատկությունները:

1. Ռացիոնալ թվերի հետ ցանկացած թվաբանական գործողության (բացի 0 -ի վրա բաժանելուց) արդյունքում ստացվում է ռացիոնալ թիվ:

2. Իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության արդյունքում կարող է ստացվել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:

3. Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության (բացի 0 -ի վրա բաժանելուց և բազմապատկելուց) արդյունքում ստացվում է իռացիոնալ թիվ:

Բերված կանոններն ու հատկությունները տեսական բնույթ ունեն: Հիշում ենք, որ իրական թվերը անվերջ տասնորդական կոտորակներ են: Այդ պատճառով, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, ապա գումարում են (հանում են) ստացված մոտավորությունները:
Օրինակ
Մոտավոր հաշվենք a=3.889217010203… և b=−1.260076(27)… թվերի գումարը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:

1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝

a≈3.89,b≈−126:

2) Կատարենք գումարումը՝

a+b≈3.89+(−1.26)==3.89−1.26=2.63:
Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, բազմապատկում են (բաժանում են) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնում են նույն ճշտությամբ:
Օրինակ
Մոտավոր հաշվենք վերևի c=4.579(128) և 2.1122334455… թվերի արտադրյալը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:
1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝

c≈4.58,d≈2.11:

2) Կատարենք բազմապատկումը՝

c⋅d≈4.58⋅2.11=9.6638:

3) Կլորացնենք բազմապատկման արդյունքը նույն ճշտությամբ՝

c⋅d≈9.66:

Իրական թվեր

Իրական թվեր
Ռացիոնալ չհանդիսացող թվերը, այսինքն, այն թվերը որոնք ամբողջ չեն և չեն ներկայացվում m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m -ը ամբողջ թիվ է, իսկ n -ը՝ բնական թիվ, կոչվում են իռացիոնալ թվեր:

Իռացիոնալ թվերը կարելի է սահմանել նաև հետևյալ կերպ:

Իռացիոնալ թիվ կոչվում է անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը:

Օրինակ
0,547…557505…113456…
Իռացիոնալ թվեր կարելի է հանդիպել անջատելով քառակուսի արմատ՝

3√ = 1,732050…

Պյութագորասի թեորեմի միջոցով համոզվում են, որ 1 սմ էջով ABC ուղղանկյուն եռանկյան AB ներքնաձիգի 12+12−−−−−−√=2√ սմ երկարությունը իռացիոնալ թիվ է:

Ամենահայտնի իռացիոնալ թվերից մեկը π թիվն է: Այն ստանալու համար պետք է ցանկացած շրջանագծի երկարությունը բաժանել նրա տրամագծի վրա:

π = 3,141592…
Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերից բաղկացած թվային բազմությունը կոչվում է իրական թվերի բազմություն:
Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով:

Ռացիոնալ թվերի գրառումը տասնորդական կոտորակներով

m/n տեսքի թվերը, որտեղ m -ը ամբողջ թիվ է, իսկ n -ը բնական թիվ, կոչվում են ռացիոնալ թվեր:
Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են Q տառով:

Քանի որ ցանկացած m ամբողջ թիվ կարելի է գրել m/1 տեսքով, ապա այն ռացիոնալ թիվ է, այսինքն՝ Z⊂Q :
Այսպիսով, կարելի է ասել, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը բաղկացած է բոլոր ամբողջ թվերից և դրական ու բացասական սովորական կոտորակներից:

Ցանկացած վերջավոր տասնորդական կոտորակ՝ որպես սովորական կոտորակի մասնավոր դեպք, հանդիսանում է ռացիոնալ թիվ:
Փորձենք ռացիոնալ թվերը ներկայացնել տասնորդական կոտորակների տեսքով:
Պարզվում է, որ ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է գրել անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով:

ա) 7 ամբողջ թիվը կարելի է գրել 7,0000… անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով:

բ) 4,244 վերջավոր տասնորդական կոտորակը կարելի է գրել 4,244000… անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով:

գ) 5/11 սովորական կոտորակը անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով գրելու համար օգտվենք «անկյունով» բաժանման եղանակից:

Տեսնում ենք, որ թվերի մի խումբ կրկնվում է՝ 45,45,45 :

Այսպիսով՝ 511 =0,454545… : Կարճ գրում ենք այսպես՝ 0,(45)
Ստորակետից հետո թվանշանների կրկնվող խումբը կոչվում է պարբերություն, իսկ ինքը կոտորակը՝ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ:
Բերված օրինակներում 7 բնական թիվը, 4,244 վերջավոր տասնորդական կոտորակը և 5/11 սովորական կոտորակը ներկայացրեցինք անվերջ պարբերական կոտորակների տեսքով՝

ա) 7=7,00000…=7,(0)
բ) 4,244=4,244000…=4,244(0)
գ) 5/11 =0,454545…=0,(45
Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով:

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը, այսինքն՝ ցանկացած անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է:
Օրինակ
Անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակները ներկայացնենք սովորական կոտորակների տեսքով:

ա) Դիցուք x=1,(47) , այսինքն՝ x= 1,474747… :

x թիվը բազմապատկենք այնպիսի թվով, որ ստորակետը տեղաշարժվի մեկ պարբերությունով դեպի աջ: Քանի որ պարբերությունը պարունակում է, ապա պետք է, ստորակետը տեղաշարժել երկու թվանշանով դեպի աջ: Դրա համար պետք է x -ը բազմապատկել 100 -ով:

Ստանում ենք՝

100x=147,474747…

Հետևաբար՝

_ 100x=147,474747…
x=1,474747…
_________________________________
100x−x=147,474747…−1,474747…

99x=146

x= 14699
Այսպիսով, 1,(23)= 14699 =1 4799

բ) Դիցուք x=1,3(47)=1,3474747…

Սկզբում x -ը բազմապատկենք 10 -ով, որպեսզի պարբերությունը սկսվի անմիջապես ստորակետից հետո՝ 10x=13,474747…

Հիմա ստացված 10x թիվը բազմապատկենք 100 -ով՝ ստորակետը տեղաշարժենք մեկ պարբերությունով դեպի աջ՝ 1000x=1347,474747…

Հետևաբար՝

_ 1000x=1347,474747…
10x=13,474747…
__________________________
990x=1334 ;

x= 1334990 = 667495 =1 172495

Բնական, ամբողջ և ռացիոնալ թվեր

Բնական, ամբողջ և ռացիոնալ թվեր
Բնական կոչվում են այն թվերը, որոնք առաջանում են հաշվելիս կամ նման առարկաներ համարակալելիս:

Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով:
Օրինակ
1,2,3,4,5,…
Եթե բնական թվերին միացնել 0 թիվը և բոլոր բացասական ամբողջ թվերը՝ −1,−2,−3,−4,…, , ապա ստացված բազմությունն անվանում են ամբողջ թվերի բազմություն և նշանակում են Z տառով:
Եթե ամբողջ թվերին միացնել բոլոր սովորական կոտորակները՝ 1/3,51/52,−8/5,… , ապա ստացված բազմությունը անվանում են ռացիոնալ թվերի բազմություն և նշանակում են Q տառով:

Ռացիոնալ թվերի Q բազմությունը բաղկացած է mn;−mn տեսքի թվերից (որտեղ m -ը և n -ը բնական թվեր են) և 0 թվից:

Հասկանալի է, որ N -ը Z -ի ենթաբազմությունն է, իսկ Z -ը Q -ի ենթաբազմությունն է: Մաթեմատիկայում այս իրավիճակը նշանակում են այսպես՝ N⊂Z;Z⊂Q :

⊂ նշանը ցույց է տալիս, որ մի բազմություն ընկած է մյուսի մեջ:

x∈X գրառումը նշանակում է, որ x -ը X բազմության տարր է:

A⊂B գրառումը նշանակում է, որ A բազմությումը B բազմության մաս է: Մաթեմատիկայում ընդունված է ասել, որ A -ն B -ի ենթաբազմություն է:

Ցույց տալու համար, որ x -ը չի պատկանում X բազմությանը, կամ, որ A -ն B -ի, ենթաբազմությունը չէ, կիրառում են նույն նշանակումները, բայց թեք գծով հատած՝ x∉X,A⊄B :

Բերենք մտցված մաթեմատիկական նշանակումների կիրառման օրինակներ:

Օրինակ
7∈N7∈Z7∈Q−5∉NN⊂QZ⊄N2∈[1;6][1;3]⊂(−2;8)
Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել վերջավոր տասնորդական կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով՝

722=0,3181818…=0,3(18)4=4,000…=4,(0)7,3777=7,37770000…=7,3777(0)
Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը՝ ցանկացած պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է:

Հաջորդ օրինակները ցույց են տալիս, թե ինչպես են պարբերական տասնորդական կոտորակները բերվում սովորական կոտորակների:

Օրինակ
1(23)=123/99=123991,5(23)=1523−5990=1518990=1259495