Ես Ռուզաննա Ղազարյանն եմ, սովորում եմ ավագ դպրոցի 10-րդ դասարանում, ընտրել եմ խորացված ուսուցմամբ մաթեմատիկա։ Իսկ ինչու՞ եմ ես ընտրել խորացված ուսուցմամբ մաթեմատիկա։ Ես ընտրել եմ, որովհետև՝ առաջին, ես հետագայում պետք է ընդունվեմ ԲՈՒՀ, ընդունելության ժամանակ մաթեմատիկայի քննություն պիտի հանձնեմ, երկրորդ, մաթեմատիկայում կան շատ թեմաներ որոնք բավականին հետաքրքիր են ու ինձ հետաքրքիր է սովորել դրանք, երրորդ, ուղղակի ուզում եմ նոր գիտելիքներ ստանալ։ Այս կիսամյակում ես ինքս ինձնից գոհ չեմ, ես չէի աշխատում, չէի օգտագործում բոլոր կարողություններս, չէի փորձում շտկել ինքս ինձ, չէի փորձում հասկանալ այն թեմաները որոնք չէի հասկացել, բայց այս չորս ամիսների ընթացքում մի քանի դեպք պատահեց, որոնցից հետո հասկացա, որ պետք է լրջանալ, պետք է աշխատել, պետք է սովորել, կամքի ուժ ունենալ, որովհետև ավագ դպրոցը հնարավորություններ է ստեղծում ինձ համար, որպեսզի ես հասնեմ իմ ուզած կետին այս կյանքում, պետք է օգտվեմ այդ հնարավորություններից ու աշխատել։ Հաջորդ կիսամյակից սկսելու եմ աշխատել ինձ վրա։ Արդեն ասացի, որ սովորելուն մատների արանքով եմ նայել, ուստի շատ գիտելիքներ չեմ վերցրել, բայց անպայման կուղղեմ սխալս։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը

Թվային ֆունկցիաներ ուսումնասիրելիս կարևոր է կարողանալ օգտվել նրա գրաֆիկից:

y=f(x),x∈X ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են կոորդինատային հարթության այն (x;y) կետերի բազմությունը, որոնց համար y=f(x) :
Օրինակ
1. y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկն ուղիղ գիծ է:
Ներքևում ցուցադրված է y=−1,5x−3 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

2. y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է պարաբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում:

3. y=1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է հիպերբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում:

4. y=x√ ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը:

5. Հիշենք նաև y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Հիշենք, որ ֆունկցիան ցանկացած արգումենտի համար պեքտ է ունենա միայն մեկ արժեք: Գրաֆիկի տերմիններով այս պահանջը նշանակում է, հետևյալը՝
Կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կորը հանդիսանում է որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ այն և միայն այն դեպքում, եթե օրդինատների առանցքին զուգահեռ ցանկացած ուղիղ կամ կորը չի հատում կամ հատում է միայն մեկ կետում:
Օրինակ
Ի տարբերություն վերևի կորերի, հետևյալ կորը որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ չէ (կետագծով նշված ուղիղը պատկերված կորը հատում է երկու կետերում):

Նախագիծ 2 եռանկյունաչափություն

Ռադիան դրական և բացասական պտույտներ

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները

Բերման բանաձևերը

Երկու անկյունների գումարի և տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բանաձևերը

Թվային ֆունկցիա

Թվային ֆունկցիա, նրա որոշման տիրույթն ու արժեքների բազմությունը

Ֆունկցիայի գաղափարին արդեն ծանոթ ենք 7 -րդ դասարանի հանրահաշվի դասընթացից:

Հիշենք այդ սահմանումը:
Դիցուք X -ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան:
X բազմությունը անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:
x -ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ նրան համապատասխանող y թիվը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք x կետում: f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքների բազմությունն անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմություն:
f ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ընդունված է նշանակել D(f) -ով, իսկ արժեքների տիրույթը՝ E(f) -ով:

Սահմանումից հետևում է, որ ֆունկցիայի տրման համար պետք է նկարագրված լինի f կանոնը` իր որոշման տիրույթի հետ միասին: Սակայն հաճախ, երբ ֆունկցիան տրված է լինում անալիտիկ՝ բանաձևով, որոշման տիրույթը բացահայտ չի նշվում:
Այդ դեպքերում ֆունկցիայի որոշման տիրույթը անկախ փոփոխականի բոլոր այն արժեքների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրի համար ֆունկցիան ընդունում է իրական արժեքներ:
f(x)=2x+1/1−x2 բանաձևով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացի 1 և −1 թվերից, այսինքն՝

D(f)=(−∞;−1)∪(−1;1)∪(1;+∞)
Վերհիշենք նաև, որ y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են xOy կոորդինատային հարթության վրա (x;f(x)) տեսքի բոլոր կետերի բազմությունը, որտեղ x -ը որոշման տիրույթի կամայական կետ է:
Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելու խնդիրը ընդհանուր դեպքում բարդ է:
Այդ խնդիրը լուծելու համար հարմար է կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը և տեսնել, թե ի՞նչ բազմություն է իրենից ներկայացնում գրաֆիկի պրոյեկցիան օրդինատների առանցքի վրա:
Օրինակ
Դիցուք y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը՝

Տեսնում ենք, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկի պրոյեկցիան օրդինատների առանցքի վրա [6;13] հատվածն է: Ուստի՝ E(f)=[6;13]

Եթե դիտարկեինք տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի պրոյեկցիան աբսցիսների առանցքի վրա, ապա կստանայինք նրա որոշման տիրույթը՝ D(f)=[2;12]

Սահմանափակություն, մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ

Սահմանափակ ֆունկցիաներ
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≥m անհավասարությունը:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≤M անհավասարությունը:
Օրինակ
ա) f(x)=|x|+3 ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից 3 -ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≥3 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:
f(x)=|x|+3 ֆունկցիան վերևից սահմանափակ չէ:

բ) f(x)=2−|x| ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից 2 -ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≤0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:
f(x)=2−|x| ֆունկցիան ներքևից սահմանափակ չէ:
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն գոյություն ունեն այնպիսի m և M թվեր, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի m≤f(x)≤M կրկնակի անհավասարությունը:
Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը նշանակում է գտնել m և M թվերը:
Օրինակ
ա) f(x)=1+x2−−−−−√ ֆունկցիան սահմանափակ է x∈[0;2] բազմության վրա, քանի որ 1≤f(x)≤5√ անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած x∈[0;2] արգումենտի համար:

բ) Նույն f(x)=1+x2−−−−−√ ֆունկցիան [0;+∞) բազմության վրա ներքևից սահմանափակ է մեկով՝ 1+x2−−−−−√≥1 , x∈[0;+∞) , սակայն վերևից սահմանափակ չէ, քանի որ այն ընդունում է ցանկացած դրական թվից մեծ արժեքներ:
Բերենք սահմանափակ ֆունկցիայի ևս մեկ սահմանում, որը համարժեք է արդեն տրված սահմանմանը:
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի A թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի |f(x)|≤A անհավասարությունը:

Ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները
Եթե y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթում կա փոքրագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի փոքրագույն արժեք:

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթում կա մեծագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի մեծագույն արժեք:
ymin -ով ընդունված է նշանակել ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը:
ymax -ով ընդունված է նշանակել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը:
Օրինակ
y=sinx ֆունկցիան [0;2π] հատվածում ընդունում է իր ymax=1 մեծագույն արժեքը x=π2 կետում, իսկ ymin=−1 փոքրագույն արժեքը՝ x=3π2 կետում:
Ապացուցելու համար, որ M թիվը y=f(x) ֆունկցիայի մեծագույն արժեքն է D(f) որոշման տիրույթում պետք է՝
1) ապացուցել, որ y=f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքները չեն գերազանցում M թիվը՝
f(x)≤M,x∈D(f) ,
2) համոզվել, որ y=f(x) ֆունկցիան որևէ x0∈D(f) կետում ընդունում է M արժեքը՝
f(x0)=M :
Նույն ձևով m թիվը կլինի y=f(x) ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը D(f) որոշման տիրույթում եթե՝
3) y=f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքները փոքր չեն m թվից՝ f(x)≥m,x∈D(f) ,
4) որևէ x1∈D(f) կետում y=f(x) ֆունկցիան ընդունում է m արժեքը՝ f(x1)=m :

Գործողություններ ֆունկցիաների հետ

Դիցուք տրված է են f և g ֆունկցիաներ: Դիտարկենք մի նոր՝ F ֆունկցիա, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների գումարին՝

F(x)=f(x)+g(x)

Բնականաբար, F ֆունկցիան որոշված է այն x) կետերում, որտեղ որոշված են և՛ f և՛ g ֆունկցիաները:
F ֆունկցիան անվանում են f և g ֆունկցիաների գումար՝ F=f+g
Վերևում ասվածը նշանակում է, որ
F ֆունկցիայի որոշման տիրույթը հավասար է f և g ֆունկցիաների որոշման տիրույթների հատմանը՝

D(F)=D(f)∩D(g)
Օրինակ
Դիցուք f(x)=x2+1 , x∈[−15;10] և g(x)=x3−x2+2 , x∈[−5;17]
Այդ դեպքում F(x)=x3+3 և D(F)=[−15;10]∩[−5;17]=[−5;10]
Նույն ձևով սահմանում ենք f և g ֆունկցիաների տարբերությունն ու արտադրյալը:
1) f և g ֆունկցիաների տարբերությունանվանում են այն G ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների տարբերությանը՝
G(x)=f(x)−g(x)
2) f և g ֆունկցիաների արտադրյալ անվանում են այն H ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների արտադրյալին՝
H(x)=f(x)⋅g(x)
Հասկանալի է, որ այս դեպքերում ևս, f և g ֆունկցիաների տարբերության և արտադրյալի որոշման տիրույթը հավասար է այդ ֆունկցիաների որոշման տիրույթների հատմանը:
Նման ձևով է սահմանվում նաև f և g ֆունկցիաների քանորդը: Սակայն այս դեպքում պետք է պահանջել, որ հայտարարը լինի զրոյից տարբեր:
3) f և g ֆունկցիաների քանորդ անվանում են այն F ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների հարաբերությանը՝

F(x)=f(x)g(x)
Այս դեպքում F ֆունկցիան որոշված է այն x) կետերում, որտեղ որոշված են և՛ f և՛ \(g\) ֆունկցիաները, ընդ որում, g(x)≠0

Երկու անկյունների գումարի և տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բանաձևերը

Ինչո՞ւ են ձևափոխում եռանկյունաչափական արտահայտությունները:

Հաճախ ամենաբարդ եռանկյունաչափական արտահայտությունները, որոշ ձևափոխություններից հետո, հաջողվում է բերել արգումենտի աղյուսակային արժեքների, օրինակ՝ 30°,45°,60° անկյունների, որոնց դեպքում եռանկյունաչափական արտահայտությունը հեշտությամբ հաշվվում դն:

Ձևափոխությունների հիմնական նպատակն է եռանկյունաչափական արտահայտությունները բերել այնպիսի տեսքի, որ դրանց արժեքների հաշվելը լինի ավելի հեշտ:

Այդ նպատակին հասնելու հիմնական միջոցը եռանկյունաչափական արտահայտությունների ձևափոխությունների բանաձևերն են: Դրանցից ամենակարևորը անկյունների գումարի սինուսի և կոսինուսի բանաձևերն են:

Դրանք կարևոր են նրանով, որ դրանց միջոցով հեշտությամբ դուրս են բերվում մյուս եռանկյունաչափական բանաձևերը:

1) Երկու անկյունների գումարի կոսինուսը հավասար է այդ անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և սինուսների արտադրյալի տարբերությանը՝ cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny :

2) Երկու անկյունների գումարի սինուսը հավասար է առաջին անկյան սինուսի և երկրորդ անկյան կոսինուսի արտադրյալին գումարած առաջին անկյան կոսինուսի և երկրորդ անկյան սինուսի արտադրյալը՝ sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny :

Հիմա sin(x−y) արտահայտությունը ներկայացնենք sin(x+(−y)) տեսքով և կիրառենք գումարի սինուսի բանաձևը՝ sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y) :

Հիշենք, որ cos(−y)=cosy և sin(−y)=−siny :

Ստանում ենք՝
sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny :

3) Երկու անկյունների տարբերության սինուսը հավասար է առաջին անկյան սինուսի և երկրորդ անկյան կոսինուսի արտադրյալից հանած առաջին անկյան կոսինուսի և երկրորդ անկյան սինուսի արտադրյալը՝ sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny :

Նույն ձևով cos(x−y) արտահայտությունը ներկայացնենք cos(x+(−y)) տեսքով և կիրառենք գումարի կոսինուսի բանաձևը:
Նորից օգտագործենք cos(−y)=cosy և sin(−y)=−siny բանաձևերը:

Ստանում ենք՝
cos(x+(−y))=cosx⋅cos(−y)−sinx⋅sin(−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny :

4) Երկու անկյունների տարբերության կոսինուսը հավասար է այդ անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և սինուսների արտադրյալի գումարին՝ cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny

Բերման բանաձևերը

Եթե եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արգումենտում հանդես է գալիս

π2+t,π2−t,π+t,π−t,3π2+t,3π2−t,π+2t,π−2t
արտահայտություններից որևէ մեկը, կամ ավելի ընդհանուր՝ πn2±t տեսքի որևէ անկյուն, որտեղ n∈Z , ապա հաջողվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը բերել ավելի պարզ տեսքի, երբ ֆունկցիայի արգումենտում մասնակցում է միայն t արգումենտը:

Համապատասխան բանաձևերը կոչվում են բերման բանաձևեր:

Բերման բանաձևերի աղյուսակը:

β π2+t π+t 3π2+t π2−t π−t 3π2−t 2π−t
sin β cos t −sin t −cos t cos t sin t — cos t — sin t
cos β −sin t −cos t sin t sin t −cos t — sin t cos t
tg β −ctg t tg t −ctg t ctg t −tg t ctg t — tg t
ctg β −tg t ctg t −tg t tg t −ctg t tg t — ctg t

Բերման բանաձևերը շատ են և հաճախ դրանցից օգտվելը հարմար չէ: Դրանք հիշելը դժվար է: Սակայն ամբողջ աղյուսակն անգիր անել պարտադիր չէ՝ բավական է հիշել միայն մեկ կանոն և դուք ինքներդ կարող եք դուրս բերել պահանջվող բերման բանաձևը:
1. Եթե եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արգումենտում մասնակցում է π+t,π−t,2π+t,2π−t տեսքի արտահայտություն, ապա եռանկյունաչափական ֆունկցիան չի փոխվում:

2. Եթե եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արգումենտում մասնակցում է π2+t,π2−t,3π2+t,3π2−t տեսքի արտահայտություն, ապա եռանկյունաչափական ֆունկցիան փոխվում է: Ընդ որում, սինուսը փոխվում է կոսինուսի, կոսինուսը՝ սինուսի, տանգենսը՝ կոտանգենսի, կոտանգենսը՝ տանգենսի:

3. Ձևափոխված եռանկյունաչափական ֆունկցիայի առաջ դրվում է այն նշանը, որը կունենար ձևափոխվող ֆունկցիան, եթե t -ն լիներ սուր անկյուն՝ 0<tπ2 նկատենք="նկատենք" որ="որ" եռանկյունաչափական="եռանկյունաչափական" ֆունկցիան="ֆունկցիան" չի="չի" փոխվում="փոխվում" եթե="եթե" միավոր="միավոր" շրջանագծի="շրջանագծի" վրա="վրա" t="t" անկյանը="անկյանը" համապատասխանող="համապատասխանող" կետը="կետը" գտնվում="գտնվում" է="է" աբսցիսների="աբսցիսների" առանցքի="առանցքի" և="և" օրդինատների="օրդինատների" _="առաջ:_" մասնավորապես="մասնավորապես" tgαπ="tgα,ctg(α±π)=ctgα" այս="այս" կանոնը="կանոնը" կարելի="կարելի" ձևակերպել="ձևակերպել" կիրառել="կիրառել" նաև="նաև" աստիճանային="աստիճանային" չափով="չափով" տրված="տրված" անկյունների="անկյունների" համար="համար" օրինակ="օրինակ" _90t90t180t180t="_90t90t180t180t" ձևափոխենք="ձևափոխենք" cosπ2t="−sint

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները

Սինուսի նշանները Կոսինուսի նշանները

Օգտվելով tgα=sinαcosα և ctgα=cosαsinα բանաձևերի օգնությամբ գտնում ենք տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների նշանները՝

(+)(+)=(+)(−)(−)=(+)(−)(+)=(−)(+)(−)=(−)

Տանգենսի և կոտանգենսի նշանները

1) Առաջին քառորդում սինուսը, կոսինուսը, տսնգենսը և կոտանգենսը դրական են:
2) Երկրորդ քառորդում սինուսը դրական է, իսկ կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը բացասական են:
3) Երրորդ քառորդում սինուսը և կոսինուսը բացասական են, իսկ տանգենսն ու կոտանգենսը՝ դրական:
4) Չորրորդ քառորդում կոսինուսը դրական է, իսկ սինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը՝ բացասական:
Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

cos(−α)=cosαsin(−α)=−sinαtg(−α)=−tgαctg(−α)=−ctgα